Свою актерскую карьеру молодой человек начал в 16 лет с участия в школьной пьесе. После окончания средней школы он поступил в Университет Стаффордшира, а позднее продолжил свое обучение в Лондонской академии музыкального и драматического искусства.
В 2006 году актер дебютировал на сцене Национального театра. Позднее он снялся в сериалах «Черное зеркало», «Катастрофа», «Кухня» и «Виртуозы». В 2007 году Амит был удостоен награды Иэна Чарлсона за исполнение роли Абеля Драггера в постановке «Алхимик» в Национальном театре в Лондоне.
В 2010 году Шах сыграл роль сына Махмуда Рашида Насира в фильме Джоша Аппиньнези «Неверный», а в 2019 году появился в боевике «Курьер» и в телесериалах «Темные начала» и «Ведьмак».
